Quelques raisonnements faux

Attention ! Les exemples présentés ci dessous sont faux. Amusez-vous à trouver l'erreur de raisonnement. Les élèves de première devraient trouver

• Soit l'équation :
  

  $x^2+x+1=0$
  $x(x+1)+1=0$
  $x(x+1)=-1$On divise les deux membres par $x$ (qui n'est pas nul, sinon dans l'équation de départ, on aurait $0^2+0+1=0$)
  $x+1=\frac{-1}{x}$
  On remplace $x+1$ par $-\frac{1}{x}$ dans l'équation de départ et on obtient :
  $x^2-\frac{1}{x}=0$, d'où $x^2=\frac{1}{x}$. En multipliant les deux membres par x, on a :
  $x^3=1$ et donc $x=1$. Il ne reste plus qu'à remplacer $x$ par 1 dans l'équation de départ et on a $1^2+1+1=0$ soit 3=0 !

• On sait que $x^3=x\times x^2$. On a donc :
  $x^3=\underbrace{x^2+x^2+x^2+ \cdots + x^2}_{x fois}$ En dérivant les deux membres de cette égalité, on a :
  $3x^2=\underbrace{2x+2x+2x+\cdots +2x}_{x fois}$
  soit $3x^2=x\times 2x=2x^2$. En divisant par $x^2$, on a donc 3=2.
• (première)
  On sait que $1+2+3+ \cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$ pour tout entier $n$
  et donc que $1+2+3+ \cdots +(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$
  En ajoutant 1 de chaque côté, on a :
  $1+2+3+ \cdots +(n-1)+1=\frac{(n-1)n}{2}+1$
  Soit $1+2+3+ \cdots +n=\frac{(n-1)n+2}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}$
  On a donc $n^2+n=n^2-n+2=2$ soit $n=-n+2$, $2n=2$ et donc $n=1$
  Conclusion : tout entier vaut 1.