Un raisonnement faux

Attention ! Cet exemple comporte une erreur de raisonnement. Il faut la trouver, mais ce n'est pas facile ! (réservé aux étudiants en maths !)

On sait que $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}$
En remplaçant $x$ par 1, on a donc :
$\ln(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
Cette série converge lentement, mais elle converge.
On remarque que les signes alternent, et on peut donc regrouper les termes de la façon suivante .
$\ln(2)=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \cdots )-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+ \cdots )$
On a évidemment $0=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+ \cdots )-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+ \cdots )$
En ajoutant membre à membre les deux égalités, on a :
$\ln(2)=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+ \cdots )... ...ts )-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+ \cdots )=0$
et donc $\ln(2)=0$